Materi Kombinatorial

Definisi Kombinatorial adalah cabang matematika untuk menghitung jumlah penyusunan objek-objek tanpa harus mengenumerasi semua kemungkinan susunannya.

Kombinatorial adalah cabang matematika yang berguna untuk menghitung jumlah penyusunan objek-objek tanpa harus menghitung semua kemungkinan susunannya. Contoh : Sebuah password panjangnya 6 sampai 8 karakter.

Kaidah Dasar menghitung
Dalam kombinatorial ada dua kaidah dasar yang digunakan untuk menghitung, yaitu kaidah penjumlahan (rule of sum) dan kaidah perkalian (rule of product)

Kaidah Penjumlahan (rule of sum) Bila percobaan 1 mempunyai m hasil percobaan yang mungkin terjadi(atau memiliki sebanyak m kemungkinan jawaban) dan percobaan 2 mempunyai n hasil percobaan yang mungkin (atau memiliki sebanyak n kemungkinan jawaban), maka bila hanya salah satu dari dua percobaan itu saja yang dilakukan (percobaan 1 “atau” percobaan 2), maka terdapat m+n hasil jawaban (atau memiliki m +n kemungkinan jawaban).

Kombinatorik (Combinatoric) adalah cabang matematika yang mempelajari pengaturan objek-objek tanpa harus mengenumerasi terlebih dahulu. Solusi yang ingin kita peroleh adalah jumlah cara pengaturan objek-objek tertentu di dalam himpunannya.Terdapat dua kaidah dasar untuk dapat memecahkan banyak masalah persoalan menghitung dalam Kombinatorial. Kaidah tersebut adalah Kaidah Perkalian(rule of procuct) dan Kaidah Penjumlahan (rule of sum).

Kaidah perkalian dan kaidah penjumlahan tersebut juga dapat diperluas sehingga mengandung lebih dari dua buah percobaan. Misalkan ada percobaan, masing-masing dengan hasil , maka hasil yang mungkin adalah: untuk kaidah perkalian.untuk kaidah penjumlahan.

Kaidah perkalian juga telah berkembang dan salahsatunya yang juga sering digunakan dalam Kombinatorial dan sudah kita kenal yaitu Permutasi.

Teori Peluang

                        Kombinatorial dan teori peluang (probability) berkaitan sangat erat. Teori peluang banyak menggunakan konsep-konsep dalam kombinatorial. Sebenarnya kedua bidang ini lahir dari arena judi (gambling games)

– salah satu kasusnya adalah menghitung peluang munculnya nomor lotre tertentu. Meskipun demikian, aplikasi kombinatorial dan teori peluang saat ini telah meluas ke berbagai bidang ilmu lain maupun dalam kehidupan nyata seperti ilmu statistika, fisika, ekonomi, biologi, dan berbagai bidang ilmu lainnya.

Terminologi Dasar                                    
Ruang Contoh (sample space)

               Ruang Contoh dari suatu percobaan adalah himpunan semua kemungkinan hasil percobaan yang bersangkutan.

Titik Contoh (sample point)

               Titik Contoh adalah setiap hasil percobaan di dalam ruang contoh. Hasil-hasil percobaan tersebut bersifat saling terpisah (mutually exclusive) karena dari seluruh ruang contoh, hanya satu titik contoh yang muncul.

Definisi: Permutasi adalah jumlah urutan berbeda dari pengaturan objek-objek.
Permutasi merupakan bentuk khusus aplikasi kaidah perkalian. Misalkan jumlah objek adalah n, maka  urutan pertama dipilih dari n objek, urutan kedua dipilih dari n – 1 objek, urutan ketiga dipilih dari n – 2 objek, … urutan terakhir dipilih dari 1 objek yang tersisa. Menurut kaidah perkalian, permutasi dari n objek adalah n(n – 1) (n – 2) … (2)(1) = n!

Bentuk khusus dari permutasi adalah kombinasi. Jika pada permutasi urutan kemunculan diperhitungkan, maka pada kombinasi, urutan kemunculan diabaikan.

Tugas Kedua : Mata Kuliah Matematika Diskrit

1.      Mengapa perlu mempelajari kombinatorial dalam materi kuliah matematika diskrit ini ?

2.      Apa yang dimaksud dengan kombinatorial dalam perkuliahan ini ?

3.      Apa kemungkinan kesalahan yang bisa terjadi dalam memahami matematika diskrit ?

4.      Berikan contoh penelitian yang telah dilakukan dalam mempelajari konsep matematika ?

Jawaban :

1.      Menekankan pentingnya kemampuan matematika merupakan tujuan utama dari pembelajaran matematika. Salah satu tujuan utama dari pembelajaran matematika adalah mahir dalam ilmu matematika yang meliputi; 1) pemahaman konsep; 2) keterampilan prosedural; 3) kompetensi strategis; 4) penalaran adaptif; dan 5) kepribadian produktif yaitu kebiasaan berpikir logis terhadap matematika (Department of Elementary and Secondary Education 2009). Kemampuan pemahaman matematis adalah salah satu tujuan penting dalam pembelajaran, memberikan pengertian bahwa materi-materi yang diajarkan kepada mahasiswa bukan hanya sebagai hafalan, namun lebih dari itu dengan pemahaman mahasiswa dapat lebih mengerti konsep materi pelajaran itu sendiri. Pemahaman matematis juga merupakan salah satu tujuan dari setiap materi yang disampaikan oleh dosen, sebab dosen merupakan pembimbing mahasiswa untuk mencapai konsep yang diharapkan. Mengajar pada dasarnya harus menyertakan dua komponen utama yaitu memberi dan menerima informasi, sehingga dosen mencoba cara yang terbaik untuk memberikan pengetahuan agar mahasiswa paham. Mahasiswa menunjukkan pemahaman konseptual dalam matematika menurut (Balka, Hull, and Miles 2001) jika terbukti dapat mengerti, menamai,dan menghasilkan contoh konsep;menggunakan model yang saling berhubungan, diagram, manipulatif, dan beragam representasi dari konsep; mengidentifikasi dan menerapkan prinsip-prinsip; mengetahui dan menerapkan fakta dan definisi; membandingkan, dan mengintegrasikan konsep terkait dengan prinsip-prinsip; mengakui, menafsirkan, dan menerapkan tanda-tanda, simbol, dan istilah yang digunakan untuk mewakili konsep.

2.      Definisi Kombinatorial adalah cabang matematika untuk menghitung jumlah penyusunan objek-objek tanpa harus mengenumerasi semua kemungkinan susunannya.

3.      Dalam hal ini mahasiswa mengalami kesalahan kesulitan dalam memodelkan kedalam bentuk matematika. Dari data diatas diperoleh beberapa kesalahan yang dialami oleh mahasiswa dalam menyelesaikan soal kombinatorika, yaitu :

a.Kesalahan konsep

Kesalahan konsep yang dilakukan adalah cara menyelesaikan soal yang seharusnya menggunakan permutasi tetapi dikerjakan dengan cara kombinasi atau bahkan sebaliknya. Selain itu, dalam menggunakan rumus permutasi atau kombinasi kadang-kadang masih terbalik.Kesulitan pemahaman konsep terjadi karena mahasiswacenderung menghafal sehingga kesalahan terjadi karena mahasiswa kurang memahamikonsep secara jelas. Hasil penelitian ini sejalan dengan penelitian (Herholdt and Sapire 2014)kesalahan terjadi karena kurangnya pemahaman mahasiswadalam memahami konsep.

b.Kesalahan prosedur

Kesalahan prosedur yang sering dilakukan mahasiswa diantaranya kurang menuliskan tanda faktorial pada operasi permutasi atau kombinasi, sehingga diperoleh hasil akhir salah. Hal ini sesuai dengan (Brown and Skow 2016) yang menyatakan bahwa kesalahan prosedural terjadi ketika seorang mahasiswa salah menerapkan aturan atau algoritma (yaitu, rumus atau prosedur langkah-demi-langkah untuk memecahkan masalah).

c.Kesalahan dalam memodelkan ke dalam bentuk matematika.

Kesalahan dalam memodelkan ke dalam bentuk matematika sering dialami mahasiswa dalam mengerjakan soal. Dari hasil wawancara yang telah dilakukan peneliti, mahasiswa masih bingung dalam menterjemahkan kedalam bentuk matematika, sehingga dalam macet dalam mengerjakan langkah berikutnya.

Pemahaman konseptual dan prosedural yang benar merupakan landasan yang memungkinkan terbentuknya pemahaman yang benar terhadap konsep-konsep lain yang berhubungan, konsep yang lebih kompleks, fakta, hukum, prinsip dan teori-teori dalam matematika.

4.      Pemahaman konseptual dan prosedural yang benar merupakan landasan yang memungkinkan  terbentuknya  pemahaman  yang  benar  terhadap  konsep-konsep  lain yang berhubungan, konsep yang lebih kompleks, fakta, hukum, prinsip dan teori-teori dalam  matematika.  Pemahaman  suatu  konsep  yang  tidak  benar  memungkinkan MeminimalisirKesalahan Konsep Kombinatorik melalui Pembelajaran terbentuknya  konsep-konsep  lain berkaitan  yang  tidak  benarpulakarena  bagian  dari pengetahuan  matematika  mencakup  topik-topik  tertentu  yang  meliputi  pemahaman prosedur dan konsep, yang keduanya adalah saling berhubungan. Anak pada awalnya memperoleh  pengetahuan  konseptual  terlebih  dahulu, misalnya,  melalui  penjelasan orang tua kemudian memperoleh pengetahuan prosedural melalui praktik pemecahan masalah secara berulang.  Hal  ini  sesuai  pernyataan (Rittle-Johnson  and  Schneider 2014) yaitu“Overall, there is extensive evidence from a variety of mathematical domains indicating  that  the  development  of  conceptual  and  procedural  knowledge  of mathematics is often iterative, with one type of knowledge supporting gains in the  other  knowledge,  which  in  turn  supports  gains  in  the  other  type  of knowledge. Conceptual knowledge may help with the construction, selection, and  appropriate  execution  of  problem-solving  procedures.  At  the  same  time, practice  implementing  procedures  may  help  students  develop  and  deepen understanding  of  concepts,  especially  if  the  practice  is  designed  to  make underlying concepts more apparent. Both kinds of knowledge are intertwined and can strengthen each other over time”.

Berdasarkan   pernyataan   di   atas   sesungguhnya   matematika   menunjukkan bahwa  pengembangan  pengetahuan  konseptual  dan  prosedural  dalam  matematika sering  berulang,  dan  saling  mendukung  antara  pengetahuan yang  satu  dengan pengetahuan     lainnya.     Pengetahuan     konseptual     dapat     membantu     dengan mengkonstruksi, menyeleksi,  dan menyelesaikan  prosedur  yang  tepatdari suatu pemecahan  masalah.  Pada waktu  yang  bersamaan, latihan menerapkan  prosedur dapat   membantu mahasiswa   mengembangkan   dan   memperdalam   pemahaman tentang  konsep,  terutama  jika latihan ini  dirancang  untuk  membuat  konsep  yang mendasari  lebih  jelas sehingga  pengetahuan  konseptual  dan  pengetahuan  procedural dapat saling memperkuat dari waktu ke waktu.

Dalam pembelajaran  matematika,  model matematika memiliki  peran  penting dalam  membantu mahasiswa lebih  memahami  proses merubah  keadaan  nyata  ke dalam bahasa matematika (mathematizing). Dengan meningkatnya peran matematika dalam dunia nyata, pendidikan matematika memerlukan arah pendidikan yang penuh informasi  dan  melatih  anak  berfikir  kritis.Oleh  karena  itudapat  dikatakan  bahwa konsep  dan  prosedur  merupakan pondasi berfikir,  sehingga  pemahaman  konseptual dan  prosedural  yang  benar  menjadi  sangat  penting  untuk  dimiliki.  Pemahaman konseptual  dan  prosedural  yang  benar  merupakan  landasan  dalam  memahami  fakta-fakta,  hukum-hukum,  prinsip-prinsip  dan  teori-teori  dalam  ilmu  matematika  secara benar.  Selain  itu,  pemahaman  secara  benar  akan  menghasilkan  penerapan  konsep yang  benar  sebagai  landasan  untuk  memecahkan  masalah  dalam  kehidupan  sehari-hari dan perkembangan IPTEK.

sumber : LIKHITAPRAJNA. Jurnal Ilmiah. Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan. ISSN: 1410-8771. Volume. 18, Nomor 2, hal 67-78.