MATERI ALJABAR BOOLEAN

PENGANTAR MATERI ALJABAR BOOLEAN
Aljabar Boolean ditemukan oleh George Boole, pada tahun 1854. 
• Boole melihat bahwa himpunan dan logika proposisi mempunyai sifat-sifat yang serupa
(perhatikan kemiripan hukum-hukum aljabar logika dan hukum-hukum aljabar himpunan). 
• Dalam buku The Laws of Thought, Boole memaparkan aturanaturan dasar logika. 
• Aturan dasar logika ini membentuk struktur matematika yang disebut aljabar Boolean. 
• Aplikasi: perancangan rangkaian pensaklaran, rangkaian digital, dan rangkaian IC (integrated
circuit) komputer 

DEFINISI
Misalkan B adalah himpunan yang didefinisikan pada dua operator biner, + dan ×, dan sebuah
operator uner, ’. Misalkan 0 dan 1 adalah dua elemen yang berbeda dari B. Maka, tupel disebut
aljabar Boolean jika untuk setiap a, b, c Î B berlaku aksioma berikut: 
1. Identitas (i) a + 0 = a (ii) a × 1 = a
2. Komutatif (i) a + b = b + a (ii) a × b = b . a
3. Distributif (i) a × (b + c) = (a × b) + (a × c)        (ii) a + (b × c) = (a + b) × (a + c)
4. Komplemen Untuk setiap a Î B terdapat elemen unik a‘Î B sehingga (i) a + a’ = 1 (ii) a × a’ = 0
Berhubung elemen-elemen B tidak didefinisikan nilainya (kita bebas menentukan anggota-anggota
B), maka terdapat banyak sekali aljabar boolean. 
• Untuk mempunyai sebuah aljabar Boolean, orang harus memperlihatkan: 
1. Elemen-elemen himpunan B,
2. Kaidah/aturan operasi untuk dua operator biner dan operator uner,
3. Himpunan B, bersama-sama dengan dua operator tersebut, memenuhi keempat aksioma diatas 
Aljabar himpunan dan aljabar logika proposisi juga merupakan aljabar Boolean karena memenuhi
empat aksioma di atas. 
Dengan kata lain, aljabar himpunan dan aljabar proposisi adalah himpunan bagian (subset) dari
aljabar Boolean. 
 Pada aljabar proposisi misalnya: 
- B berisi semua proposisi dengan n peubah.
- Dua elemen unik berbeda dari B adalah T dan F,
- Operator biner: ∨ dan ∧, operator uner: ~
- Semua aksioma pada definisi di atas dipenuhi.
 Dengan kata lain     B ∨ ∧ ~ T F    adalah aljabar Booelan 





EKSPRESI BOOLEAN
Ekspresi Boolean dibentuk dari elemen-elemen B dan/atau peubah-peubah yang dapat
dikombinasikan satu sama lain dengan operator +, ×, dan ’. 
Contoh 1: 

 0 
1 
a  
b 
a + b 
a × b
a’× (b + c)   
a × b’ + a × b × c’ + b’,  dan sebagainya 

HUKUM ALJABAR BOOLEAN 









 CONTOH 2: Buktikan bahwa untuk sembarang elemen a dan b dari aljabar Boolean maka kesamaaan
berikut: a + a’b = a + b dan a(a’ + b) = ab adalah benar. 
Penyelesaian: 
(i) a + a’b = (a + ab) + a’b (Hukum Penyerapan) 
 = a + (ab + a’b) (Hukum Asosiatif) 
 = a + (a + a’)b (Hukum Distributif) 
 = a + 1 × b (Hukum Komplemen) 
 = a + b (Hukum Identitas) 
(ii) a(a’ + b) = a a’ + ab (Hukum Distributif) 
   = 0 + ab (Hukum Komplemen) 
   = ab (Hukum Identitas) 

FUNGSI BOOLEAN
Contoh-contoh fungsi Boolean:
 f(x) = x 
 f(x, y) = x’y + xy’+ y’ 
 f(x, y) = x’ y’ 
 f(x, y) = (x + y)’ 
 f(x, y, z) = xyz’ 
• Setiap peubah di dalam fungsi Boolean, termasuk dalam bentuk komplemennya, disebut literal. 
• Fungsi h(x, y, z) = xyz’ terdiri dari 3 buah literal, yaitu x, y, dan z’. 
• Jika diberikan x = 1, y = 1, z = 0, maka nilai fungsinya:
   h(1, 1, 0) = 1 ×1 × 0’ = (1 × 1) × 1 = 1 × 1 = 1 

CONTOH 3 :
• Ekspresi Boolean yang menspesifikasikan suatu fungsi dapat disajikan dalam dua bentuk berbeda. 
• Pertama, sebagai penjumlahan dari hasil kali dan kedua sebagai perkalian dari hasil jumlah. 
• Contoh 3: 
f(x, y, z) = x’y’z + xy’z’ + xyz 
dan 
g(x, y, z) = (x + y + z)(x + y’ + z)(x + y’ + z’)(x’ + y + z’)(x’ + y’ + z) 
adalah dua buah fungsi yang sama. 

CONTOH 4 :
.  Minterm: suku (term) di dalam ekspresi boolean mengandung literal yang lengkap dalam bentuk
hasil kali 
• Maxterm: suku (term) di dalam ekspresi boolean mengandung literal yang lengkap dalam bentuk
hasil jumlah. 
• Contoh 4: 
f(x, y, z) = x’y’z + xy’z’ + xyz 
à 3 buah minterm: 
x’y’z, xy’z’, xyz g(x, y, z) = (x + y + z)(x + y’ + z)(x + y’ + z’)(x’ + y + z’)(x’ + y’ + z) 
à 5 buah maxterm: 
(x + y + z), (x + y’ + z), (x + y’ + z’), (x’ + y + z’), dan (x’ + y’ + z) 

BENTUK KANONIK
Misalkan peubah (variable) fungsi Boolean adalah x, y, dan z Maka: x’y 
à bukan minterm karena literal tidak lengkap y’z’ 
à bukan minterm karena literal tidak lengkap xy’z, xyz’, x’y’z 
à minterm karena literal lengkap (x + z) 
à bukan maxterm karena literal tidak lengkap (x’ + y + z’) 
à maxterm karena literal lengkap (xy’ + y’ + z) à bukan maxterm 
• Ekspresi Boolean yang dinyatakan sebagai penjumlahan dari satu atau lebih minterm atau
perkalian dari satu atau lebih maxterm disebut dalam bentuk kanonik. 

DUA MACAM BENTUK :
Jadi, ada dua macam bentuk kanonik: 
1. Penjumlahan dari hasil kali (sum-of-product atau SOP) 
2. Perkalian dari hasil jumlah (product-of-sum atau POS) 
• Fungsi f(x, y, z) = x’y’z + xy’z’ + xyz dikatakan dalam bentuk SOP 
• Fungsi g(x, y, z) = (x + y + z)(x + y’ + z)(x + y’ + z’)(x’ + y + z’) (x’ + y’ + z) 
dikatakan dalam bentuk POS 

CARA MEMBENTUK MINTERM DAN MAXTERM :
• Untuk minterm, setiap peubah yang bernilai 0 dinyatakan dalam bentuk komplemen, sedangkan
peubah yang bernilai 1 dinyatakan tanpa komplemen. 
• Sebaliknya, untuk maxterm, setiap peubah yang bernilai 0 dinyatakan tanpa komplemen,
sedangkan peubah yang bernilai 1 dinyatakan dalam bentuk komplemen.

KONVERSI ANTAR BENTUK
Misalkan f adalah fungsi Boolean dalam bentuk SOP dengan tiga peubah: f(x, y, z) = Ʃ (1, 4, 5, 6, 7)
dan f ’adalah fungsi komplemen dari f, f ’(x, y, z) = Ʃ (0, 2, 3) = m0+ m2 + m3 
Dengan menggunakan hukum De Morgan, kita dapat memperoleh fungsi f dalam bentuk POS: 
f (x, y, z) = (f ’(x, y, z))’ = (m0 + m2 + m3 )’ = m0 ’ . m2 ’ . m3 ’ = (x’y’z’)’ (x’y z’)’ (x’y z)’ = (x + y + z) (x +
y’ + z) (x + y’ + z’) = M0 M2 M3 = Π (0,2,3) Jadi, f(x, y, z) = Ʃ (1, 4, 5, 6, 7) = Π (0,2,3). 
Kesimpulan: mj ’ = Mj

PENYEDERHANAAN :
Menyederhanakan fungsi Boolean artinya mencari bentuk fungsi lain yang ekivalen tetapi dengan
jumlah literal atau operasi yang lebih sedikit. 
• Contoh: f(x, y) = x’y + xy’ + y’ disederhanakan menjadi f(x, y) = x’ + y’. 
• Dipandang dari segi aplikasi aljabar Boolean, fungsi Boolean yang lebih sederhana berarti
rangkaian logikanya juga lebih sederhana (menggunakan jumlah gerbang logika lebih sedikit). 

TIGA METODE :
yang dapat digunakan untuk menyederhanakan fungsi Boolean: 
1. Secara aljabar, menggunakan hukum-hukum aljabar Boolean.
2. Metode Peta Karnaugh.
3. Metode Quine-McCluskey (metode tabulasi) 
• Yang dibahas hanyalah Metode Peta Karnaugh 

PETA

• Peta Karnaugh (atau K-map) merupakan metode grafis untuk menyederhanakan fungsi
Boolean. 

• Metode ini ditemukan oleh Maurice Karnaugh pada tahun 1953. Peta Karnaugh adalah
sebuah diagram/peta yang terbentuk dari kotak-kotak (berbentuk bujursangkar) yang
bersisian. 
• Tiap kotak merepresentasikan sebuah minterm.
• Tiap kotak dikatakan bertetangga jika minterm minterm yang merepresentasikannya
berbeda hanya 1 buah literal.

CONTOH SOAL :

Sebuah instruksi dalam sebuah program adalah if A > B then write ln(A) else write ln(B); Nilai
A dan B yang dibandingkan masing-masing panjangnya dua bit (misalkan: a1a2 dan b1b2 ). 

(a) Buatlah rangkaian logika (yang sudah disederhanakan tentunya) yang menghasilkan
keluaran 1 jika A > B atau 0 jika tidak. 

(b) Gambarkan kembali rangkaian logikanya jika hanya menggunakan gerbang NAND saja
(petunjuk: gunakan hukum de Morgan)