TOPIK MATERI MATEMATIKA DISKRIT TENTANG GRUP DAN RING

Pengertian Grup

Suatu struktur aljabar merupakan suatu sistem yang mengandung dua unsur utama yakni
sebuah himpunan dan operasi biner yang didefinisikan di dalamnya.
Sebuah sistem yang terdiri dari sebuah himpunan tak kosong G dan sebuah operasi biner ∗
yang didefinisikan didalamnya disebut grupoid.
Jika operasi biner dalam grupoid tersebut bersifat asosiatif, maka sistem tersebut
menjadi sebuah semi grup. Selanjutnya semi grup yang memuat elemen identitas,
yakni sebuah elemene sedemikian hingga untuk setiap a∈G berlaku a∗e=e∗a=a,
disebut monoid. Dan apabila setiap elemen dalam monoid memiliki invers,
yakni untuk setiap a∈G,∃a−1∈G sedemikian hingga a∗a−1=a−1∗a=e,
maka sistem yang baru disebut grup. 

Berikut ini disajikan definisi formal dari grup

Definisi 1

Suatu himpunan tak kosong G dengan sebuah operasi ∗ (dinotasikan(G,∗)),
dapat membentuk Grup jika dan hanya jika memenuhi empat aksioma berikut.

1.Tertutup, yakni jika diambil sebarang dua elemen dalam G maka hasil operasinya
juga akan merupakan elemen G dan hasil tersebut adalah tunggal. 

Atau secara simbolis:(∀a,b∈G), (∃!c∈G), a∗b=c

2. Operasi ∗ bersifat asosiatif, yakni (∀a,b,c∈G),(a∗b)∗c=a∗(b∗c).

3. Ada elemen identitas dalam G, yakni(∃e∈G),(∀a∈G),a∗e=e∗a=a.

4. Tiap-tiap elemen dalam G memiliki invers, yakni (∀a∈G), (∃a−1∈G), a∗a−1=a−1∗a=e,
dimana e adalah elemen identitas terhadap operasi ∗.

Contoh :

1. Himpunan bilangan riil < terhadap operasi penjumlahan bilangan riil membentuk sebuah grup.

2.Z5={0,1,2,3,4} terhadap operasi penjumlahan bilangan bulat modulo 5,membentuk sebuah grup.

3.{a+b√3|a,b∈Z} terhadap operasi penjumlahan yang didefinisikan sebagai berikut:
(a1+b1√3) + (a2+b2√3) = (a1+a2) + (b1+b2)√3, membentuksebuah grup.

4. Himpunan semua matrik berukuran 2×2 dengan entri-entri bilangan riil tidak dapat membentuk
grup terhadap operasi perkalian matrik. Mengapa?

5. Himpunan bilangan bulat Z dengan operasi perkalian bilangan bulat, tidak dapat membentuk grup.
Mengapa? 

6. Himpunan bilangan rasional Q dengan operasi perkalian, membentuk sebuah grup.

7. Dengan menggunakan tabel operasi∗, tentukan aturan bagi operasi∗agar himpunan G={a,b,c,d}
dapat membentuk grup terhadap operasi∗

Definisi 2

Sebuah grup (G,∗)dikatakan sebagai grup komutatif apabila (∀a,b∈G), a∗b=b∗a.

Contoh :

Himpunan bilangan bulat terhadap operasi penjumlahan merupakangrup komutatif.

2  Sifat-sifat Dasar Grup

Setelah memahami konsep tentang suatu grup, maka berikut ini disajikan beberapa teorema
yang merupakan sifat-sifat dasar dari grup. Pembuktian teorema-teorema tersebut sengaja
ditinggalkan untuk latihan.

Teorema 2.1  Elemen identitas dari suatu grup adalah tunggal.

Teorema 2.2  Invers dari setiap elemen dalam suatu grup adalah tunggal.

Teorema 2.3  Jika G adalah grup dengan operasi biner∗, maka dalam G berlaku hukum kanselasi
kiri dan hukum kanselasi kanan. Yakni,a∗b=a∗c berimplikasi b=c, dana∗b=c∗b
berimplikasi a=c,∀a,b,c∈G.

Teorema 2.4  Jika G grup dan a1,a2,···,an adalah sebarang n elemen dalam G,
maka berlaku (a1∗a2∗···∗an)−1=a−1n∗a−1n−1∗···∗a−11.

Teorema 2.5  Jika G adalah grup maka untuk sebarang elemen a dalam G berlaku(a−1)−1=a.

Teorema 2.6  Dalam sebuah grup G, persamaan ax=b, dimana a,b∈G dan x adalah variabel,
mempunyai penyelesaian tunggal yaknix=a−1b.

Teorema 2.7  Jika suatu himpunan tak kosong G terhadap operasi ∗ memenuhi aksioma:
tertutup, asosiatif, dan persamaana ∗x=b dan y∗a=b mempunyai penyelesaian untuk setiap a,b∈G,
maka (G,∗)merupakan grup

RING 

Bab ini merupakan awal dari bagian pertama materi utama perkuliahan Struktur Aljabar Lanjut.
Pada bab ini disajikan tentang pengertian ring, sifat-sifat dasar ring, konsep tentang subring,
division ring .  

Pengertian dan Sifat-sifat Dasar Ring

Jika Grup merupakan struktur aljabar dengan satu operasi biner, maka Ring merupakan suatu
struktur aljabar dengan dua operasi biner, penjumlahan dan perkalian. Definisi formal untuk
Ring adalah sebagai berikut :

Definisi Ring.

Sebuah ring [R,+,·] adalah sebuah himpunan R dengan dua operasi biner, penjumlahan,+,
dan perkalian,·, yang didefinisikan pada R, yang ∀a,b,c∈R memenuhi aksioma-aksioma berikut :
1. a+b∈R

2. a+ (b+c) = (a+b) +c

3. ∃0∈R, 3∀a∈R, 0 +a=a+ 0 =a

4. ∀a∈R, ∃−a∈R,3a+ (−a) = (−a) +a= 0

5. a+b=b+a

6. a·b∈R

7. a·(b·c) = (a·b)·c

8. a·(b+c) = (a·b) + (a·c), dan(a+b)·c= (a·c) + (b·c)

Menurut aksioma 1-5, maka sebuah ring haruslah merupakan grup a belian (komutatif) terhadap
operasi penjumlahan.  Untuk efisiensi, biasanya tanda·tidak dituliskan sehingga penulisan ab
berarti a·b. Beberapa contoh himpunan yang merupakan ring antara lain: himpunan bilangan bulat,
Z;  himpunan bilangan rasional, Q; himpunan bilangan riil,R; himpunan bilangan kompleks,C
;himpunan semua matriks berordo n×n dengan entri-entri riil, Mn(R); himpunan semua fungsi
f:R→R. 

Selanjutnya beberapa sifat dasar ring disebutkan dalam teorema berikut.

Teorema 1 Jika R adalah ring yang memiliki identitas jumlahan 0, maka ∀a, b∈R,

1. 0a=a0 = 0,

2. a(−b) = (−a)b=−(ab),

3. (−a)(−b) =ab. Bukti.1.a0 +a0 =a(0 + 0) =a0 =a0 + 0, sehingga a0 = 0. 

Secara analog dapat dibuktikan pula bahwa 0a= 0.2.a(−b) +ab=a(−b+b) =a0 = 0,
sehingga a(−b) =−(ab). 

Secara analog dapat dibuktikan bahwa (−a)b=−(ab).3. (−a)(−b) =−(a(−b)) =−(−(ab)) =ab

2  Subring

Analog dengan konsep subgrup dalam grup, maka dalam ring juga terdapat sub-ring.

Definisi 2 Sebuah subset S pada suatu ring R, disebut subring pada R jika S juga memenuhi
semua aksioma ring. Dalam kapasitasnya sebagai subset ring R, Setelah mewarisi aksioma-
aksioma 2, 5, 7 dan 8 dalam definisi ring, sehingga selanjutnya yang perlu diselidiki apakah S
memenuhi aksioma-aksioma ring ke 1, 3, 4 dan 6. 

Selanjutnya karena sebuah subring merupakan sebuah subgrup terhadap operasi penjumlahan,
maka dapat pula ditunjukkan bahwa jika dalam S dipenuhi (a−b)∈S∀a, b∈S maka S akan
memenuhi aksioma ring ke 1, 3 dan 4, sehingga aksioma-aksioma yang harus dipenuhi oleh
sebuah subset untuk menjadi sebuah subring, dapat lebihdisederhanakan sebagaimana tercantum
dalam teorema berikut ini.

Teorema 2

Sebuah subset S pada suatu ring R disebut subring pada R jika memenuhi : 1.∀a,b∈S,(a−b)∈S;

2.∀a,b∈S,ab∈S. 

Contoh:Setiap ring R pasti memiliki dua macam subring yakniR sendiridan{0};

Z merupakan subring pada R;

R merupakan subring pada C