Teori Peluang Diskrit

Definisi  Fungsi Massa Peluang adalah peubah acak diskret yang masing masing mempunyai peluang , maka Fungsi massa peluang dari adalah hubungan antara nilai peubah acak dengan peluangnya.

Teori peluang adalah cabang matematika yang bersangkutan dengan peluang, analisis fenomena acak. 

Objek utama teori peluang adalah variabel acak, proses stokastik, dan kejadian: abstraksi matematis non-deterministik peristiwa atau kuantitas terukur yang dapat berupa kejadian tunggal atau berkembang dari waktu ke waktu dalam mode tampaknya acak.

 Jika koin individu melemparkan atau gulungan dadu dianggap peristiwa acak, maka jika berkali-kali mengulangi urutan kejadian acak akan menunjukkan pola-pola tertentu, yang dapat dipelajari dan diprediksi. Dua hasil matematis representatif menggambarkan pola tersebut adalah hukum bilangan besar dan teorema limit pusat.

Definisi Peubah Acak Diskrit

Peubah acak disebut diskret, jika ruang contoh S dari peubah acak itu tercacah (berkorespondensi 1-ke-1 dengan himpunan bilangan bulat positif).  Dengan demikian, jika peubah acak diskret, maka banyaknya nilai dari peubah acak yang bersifat dapat dicacah (1 atau lebih).

Sebagai dasar matematika untuk statistik, teori peluang adalah penting untuk kegiatan manusia banyak yang melibatkan analisis kuantitatif set besar data. Metode teori peluang juga berlaku untuk deskripsi sistem yang kompleks diberikan pengetahuan hanya sebagian dari negara mereka, seperti dalam mekanika statistik. 

Peluang Diskrit Apa yang terjadi jika keluaran dari suatu eksperimen tidak memiliki peluang yang sama? Dalam kasus ini, peluang p(s) dipadankan dengan setiap keluaran Elemen dari S, di mana S adalah ruang sampel, yang memenuhi dua syarat:

(1) 0 kurang dari atau sama dengan  p(s) kurang dari atau sama dengan 1 untuk setiap Elemen dari S, dan (2) Sigma S p(s) = 1 Artinya, bahwa (1) setiap peluang bernilai antara 0 dan 1, dan

(2) jika peluang dari semua keluaran yang mungkin dijumlahkan akan sama dengan 1, karena pada saat eksperimen dilakukan, satu dari keluaran tersebut dijamin akan terjadi. Fungsi p: S mengimplikasikan [0,1] dinamakan distribusi peluang.

Bagaimana peluang p(s) diperoleh? Peluang p(s) dari suatu kejadian s sama dengan Setelah kita mengetahui p(s) untuk setiap s, peluang dari suatu kejadian E dapat dihitung sebagai berikut. p(E) = Sigma E p(s) banyaknya eksperimen jumlah kemunculan lim banyaknya eksperimen s

Contoh

 Suatu dadu dimodifikasi sehingga angka tiga muncul dua kali lebih sering dari angka-angka lainnya. (a) Berapakah peluang dari semua keluaran yang mungkin? 

(b) Berapakah peluang bahwa angka ganjil akan muncul ketika dadu tersebut digulingkan?

 Solusi.

(a)   Terdapat 6 kemungkinan keluaran s1 , …, s6 . p(s1 ) = p(s2 ) = p(s4 ) = p(s5 ) = p(s6 ) p(s3 ) = 2p(s1 )

Karena jumlah semua peluang tersebut haruslah sama dengan 1, maka 5p(s1 ) + 2p(s1 ) = 1 dan 7p(s1 ) = 1

Jadi, p(s1 ) = p(s2 ) = p(s4 ) = p(s5 ) = p(s6 ) = 1/7, p(s3 ) = 2/7

(b)   Eganjil = {s1 , s3 , s5 }

Ingat rumus p(E) = Sigma E p(s).

Maka, p(Eganjil) = Sigma Eganjil

p(s) = p(s1 ) + p(s3 ) + p(s5 ) = 1/7 + 2/7 + 1/7 = 4/7

PELUANG

Teori Peluang dikembangkan pada abad ke XVII oleh ahli matematika dari Perancis yang bernama Pierre de Fermat dan Blaise Pascal. Awalnya teori peluang dimulai dari permainan judi atau permainan yang bersifat untung-untungan. Dalam teori peluang banyak dijumpai soal-soal yang berkaitan dengan uang logam, dadu, kartu bridge dan lain-lain.
Adapun tujuan mempelajari teori peluang agar siswa dapat menjelaskan konsep-konsep dasar teori peluang supaya lebih mudah dipahami dan melatih kemampuan siswa dalam hal berolah pikir.

Pengertian Ruang Sampel dan Kejadian
Ruang Sampel adalah seluruh kemungkinan yang terjadi dalam suatu percobaan. Ruang Sampel biasanya dilambangkan dengan huruf besar “ S “

Contoh:
1.     Pada percobaan melempar sebuah dadu, maka ruang sampelnya ditulis:
     S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }
2.     Pada percobaan melempar sebuah mata uang logam
     S = { Angka, Gambar } atau  S = { A, G }
     S = { Muka , Belakang } atau S = { M, B }

Kejadian adalah bagian dari ruang sampel, biasanya untuk melambangkan suatu kejadian digunakan huruf besar.

Contoh:
1.     Pada percobaan melempar sebuah dadu.
     a.  Jika A adalah kejadian muncul mata dadu bilangan genap, maka:
         A = { 2, 4, 6 }
b.     Jika B adalah kejadian muncul mata dadu bilangan prima, maka:
         B = { 2, 3, 5 }
c.     Jika C adalah kejadian muncul mata dadu yang merupakan faktor dari 12, maka:
         C = { 1, 2, 3, 4, 6 }
2.     Pada percobaan melempar dua mata uang logam.
a.     Jika P adalah kejadian kedua mata uang muncul Angka, maka:
          P = { AA }
b.     Jika Q adalah kejadian muncul 1 Angka dan 1 Gambar, maka:
          Q = { AG, GA }

 Peluang Suatu Kejadian

Menghitung Peluang dengan menggunakan Pendekatan Frekuensi Nisbi atau Frekuensi Relatif
Contoh:
1.     Jika sebuah uang logam dilempar sebanyak 15 kali, kemudian pada setiap lemparan hasilnya dicatat dan diperoleh frekuensi muncul angka sebanyak 7 kali, maka frekuensi relatif muncul angka = 7/15

2.     Jika sebuah uang logam dilempar sebanyak 50 kali, kemudian pada setiap lemparan hasilnya dicatat dan diperoleh frekuensi muncul gambar sebanyak 28 kali, maka frekuensi relatif muncul gambar =  28/50

Jadi, peluang suatu kejadian secara frekuensi relatif adalah perbandingan banyaknya kejadian yang muncul dengan banyaknya percobaan yang dilakukan dalam waktu tertentu.

Semoga bermanfaat.